方波是一種常見的信號，其時域、頻域之間的關系很明確，且具有一定的代表性。此處以方波為例，對周期信號的頻譜進行簡單的分析。

信號的頻譜可分為實部譜、虛部譜、幅值譜、相位譜、功率譜等。對信號作頻譜分析既可以用各種頻譜分析儀，也可以采用信號分析軟件，其數(shù)學基礎都是傅里葉變換。

三角形式的傅 里葉級數(shù)

任何一個周期函數(shù)x(t)都可以用三角函數(shù)集中各函數(shù)分量的線性組合來表示，即

 

式中，a₀、a_n 、b_n為傅里葉系數(shù);f_n為各諧頻的頻率。

必須指出，并非任意周期信號都能進行傅里葉級數(shù)展開。在數(shù)學中已經描述，被展開的級數(shù)x(t)應滿足如下的充分條件( Driclet條件):

1)在一周期內，信號是絕對可積的，即

 

2)在一周期內，函數(shù)的極大值和極小值的數(shù)目應是有限個。

3)在一周期內，如有間斷點，則間斷點的數(shù)目應是有限個，而且當t從不同方向趨近間斷點時，函數(shù)應具有兩個不同的有限的極限值。

實際進行信號分析時，不可能去計算無限多次諧波分量，而只能取有限項來近似地表示函數(shù)x(t)，這就要出現(xiàn)誤差:

 

式中，為誤差函數(shù)，代表所有n次以上諧波分量之和。所取的級數(shù)項越多，即n值越大，則其誤差就越小。

例1  以圖3-11所示方波為例，說明信號的傅里葉級數(shù)表示及其誤差。

該信號用函數(shù)式表示:             

計算結果：                                

          

         

               

因此，該方波在區(qū)間(0,T)內可表示為

 

一般情況下，取的項數(shù)n越多，誤差越小。此處以方波為例進行說明，圖3-12分別給出了取第一項、前兩項和前三項時所對應的圖形。如果僅取第一項，均方誤差 =0.19；若取前兩項，則=0.1;取前三項，則=0.07。

在選取傅里葉級數(shù)的項數(shù)時，如果信號不連續(xù)，則存在一種現(xiàn)象：所選取的項數(shù)越多，所合成的波形中的峰越靠近f(t)不連續(xù)點。當所取項數(shù)足夠大時，該峰趨于一常數(shù)，約為跳變值的9%，并從不連續(xù)點開始以振蕩的形式逐漸衰減。這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象( Gibbs phenomenon)。

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